Le paradoxe de Banach-Tarski est l’un des résultats les plus surprenants et contre-intuitifs des mathématiques modernes. Découvert par les mathématiciens polonais Stefan Banach et Alfred Tarski en 1924, ce théorème est souvent résumé de façon informelle comme suit :
« Il est possible de découper une sphère en un nombre fini de morceaux, puis de réarranger ces morceaux pour former deux sphères identiques à l’originale. »
Plus précisément, le théorème affirme qu’une boule tridimensionnelle peut être décomposée en un nombre fini de sous-ensembles, qui peuvent ensuite être réarrangés par des rotations et des translations rigides (sans déformation) pour former deux boules de même taille que l’originale.
Ce résultat semble violer la conservation du volume, ce qui est la source du paradoxe. Cependant, il n’y a pas de contradiction mathématique réelle, car:
- Les « morceaux » utilisés dans la décomposition ne sont pas des solides ordinaires – ils sont des ensembles extrêmement complexes et non-mesurables.
- La décomposition s’appuie sur l’axiome du choix, un principe fondamental mais controversé de la théorie des ensembles.
- Ces morceaux ne peuvent pas être construits physiquement dans le monde réel.
Le paradoxe de Banach-Tarski a des implications profondes en théorie de la mesure, en topologie et dans les fondements des mathématiques. Il illustre les conséquences surprenantes qui peuvent découler des axiomes de la théorie des ensembles et met en évidence les limites de notre intuition physique lorsqu’elle est appliquée aux constructions mathématiques abstraites.
Laisser un commentaire